Revision [ae9f331]
Letzte Änderung am 2016-04-14 08:14:01 durch Jorina Lossau
ADDITIONS
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| +| **Lösungen**<br />**zu Bsp.:1**<br />geg.: Zielfunktion x(r1,r2)=2*r1*r2<br />Nebenbedingung: 10r1+20r2=400<br />-> Nebenbedingung null setzen und mit &#955; multiplizieren<br />10r1&#955;+20r2&#955;-400&#955;=0<br />-> Lagrange - Funktion bilden, indem die Zielfunktion mit der Nebenbedingung addiert wird<br />x(r1,r2,&#955;)=2*r1*r2+10r1&#955;+20r2&#955;-400&#955;<br />->partielle Ableitungen bilden<br />I. xr1=2r2+10&#955;<br />II. xr2= 2r2+20&#955;<br />III. x&#955;= 10r1+20r2-400<br />-> Gleichungen lösen<br />I. nach r2 auflösen<br />2r2+10&#955;=0<br />2r2=-10&#955;<br />r2=-5&#955;<br />II. nach r1 auflösen<br />2r1+20&#955;=0<br />2r1=20&#955;<br />r1=-10&#955;<br />r1 und r2 in III einsetzen<br />10(-10&#955;)+20(-5&#955;)-400=0<br />-100&#955;-100&#955;-400=0<br />-200&#955;=400<br />&#955;=-2<br />r2=-5&#955;<br />=-5*-2<br />=10<br />r1=-10&#955;<br />=-10*-2<br />=20<br />Werden vom ersten Produktionsfaktor r1 20 ME und vom zweiten Produktionsfaktor r2 10 ME eingesetzt, dann wird das zur Verfügung stehende Budget vollständig verbraucht und dabei der maximale Output von x = 400 realisiert.<br /> <br />**zu Bsp.: 2**<br />geg.: G(x,y) = 16x+10y+2xy-4x^2-2y^2-20->max!<br />unter der Bedingung<br />x+y=4<br />x&#955;+y&#955;-4&#955;=0<br />Lagrange-Funktion:<br />G(x,y,&#955;)=16x+10y+2xy-4x^2-2y^2-20+x&#955;+y&#955;-4&#955;<br />I. Gx=16+2y-8x+&#955;<br />II. Gy=10+2x-4y+&#955;<br />III. G&#955;=x+y-4<br />III nach x auflösen<br />x+y-4=0<br />x=4-y<br />x in II einsetzen und umformen nach &#955;<br />10+2(4-y)-4y+&#955;=0<br />10+8-2y-4y+&#955;=0<br />18-6y+&#955;=0<br />&#955;=6y-18<br />x und &#955; in I einsetzen<br />16+2y-8(4-y)-18+6y=0<br />16+2y-32+8y-18+6y=0<br />16y=34<br />y= 17/8<br />&#955;=-18+6*(17/8)=21/4<br />x=4-(17/8)=15/8<br />G(x,y)=129/8<br />Stellt das Unternehmen vom ersten Gut x = 15/8 ME und vom zweiten Gut y = 17/8 ME her, dann schöpft es die zur Verfügung stehenden Kapazitäten vollständig aus und erzielt einen Gewinn von G = 129/8 GE. <br />**zu Bsp.: 3**<br />geg.: p(x) = 15.000 - 3.000x<br />p(y) = 4.000 - 200y<br />Nebenbedingung: x+y = 10<br />Man erhält folgende Preis-Absatz-Funktion für den Tagesumsatz:<br />E(x,y)=x*p(x)+y*p(y)<br />=x*(15.000-3000x)+y*(4000-200y)<br />=-3000x^2+15.000x-200y^2+4000y->max!<br />unter der Bedingung x+y=10<br />x&#955;+y&#955;-10&#955;=0<br />Lagrange-Funktion:<br />P(x,y&#955;)=-3000x^2+15.000x-200y^2+4000y+x&#955;+y&#955;-10&#955;<br />I. Px=15.000-6000x+&#955;<br />II. Py=4000-400y+&#955;<br />III. P&#955;=x+y-10<br />I nach x auflösen<br />15.000-6000x+&#955;=0<br />-6000x=-15.000-&#955;<br />x=2,5+(1/6000)&#955;<br />II nach y auflösen<br />4000-400y+&#955;=0<br />4000+&#955;=400y<br />10+(1/400)&#955;=y<br />x und y in III einsetzen<br />2,5 + 1/6000&#955;+10+1/400&#955;-10=0<br />1/375&#955;=-2,5<br />&#955;=-1875/2<br />x=2,5+1/6000*-1875/2=75/32<br />y=10+1/400*1875/2=245/32<br />
DELETIONS
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Revision [ce8b8c6]
Bearbeitet am 2016-03-29 12:31:03 von Jorina Lossau
ADDITIONS
### Tutorium Mathematische Grundlagen und Analysis
#### Extremwertberechnung
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| +| **Aufgaben**<br />**Bsp.: 1**<br />Gesucht ist das Maximum der Produktionsfunktion x(r1,r2)=2*r1*r2<br />unter der Bedingung, dass für den Einkauf der beiden Produktionsfaktoren genau 400 GE zur Verfügung stehen.<br />Die Faktorpreise liegen dabei bei<br />&#8226; 10 GE für eine ME von r1<br />&#8226; 20 GE für eine ME von r2<br />**Bsp.: 2** <br />Ein Unternehmen arbeitet bei der Herstellung zweier Güter mit der Gewinnfunktion<br />G(x,y) = 16x + 10y + 2xy-4x^2-2y^2-20<br />Dabei ist eine Kapazitätsrestriktion der Form x+y = 4 zu beachten. <br />Man bestimmt das Gewinnmaximum.<br /> <br />**Bsp.: 3**<br />Eine Molkerei produziert Frischmilch mit zwei Geschmacksrichtungen. <br />Dabei gilt die Preis-Absatz-Funktion<br />p(x) = 15.000 - 3.000x für die Geschmacksrichtung 1 und <br />p(y) = 4.000 - 200y für die Geschmacksrichtung 2.<br />Insgesamt kann die Molkerei am Tag 10 Hektoliter Fruchtmilch herstellen und absetzen. Welche Mengen müssen von jeder Geschmacksrichtung hergestellt und abgesetzt werden, um den Tagesumsatz zu maximieren? <br />
| **[PDF Dokument Aufgaben Extremwerte](/files/ExtremWertberechnung/Extremwerte1.pdf)** |
| +| **[PDF Dokument Lösungen Extremwerte](/files/ExtremWertberechnung/Extremwerte2.pdf)**
>>>>>>>>>>>> **[Zurück zur Auswahl](http://wiki.fh-sm.de/AnalysisTutorienSS2013)**
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